Francisco Martínez Galinsoga, nacido en Almería a mediados del siglo XVIII, fue hijo de Domingo Martínez de Galinsoga y Salvadora García, ambos naturales de Oria. Hermano suyo fue Domingo Martínez de Galinsoga, abogado de los Reales Consejos.
Su carrera en la administración de justicia comenzó con su nombramiento, por Real Cédula de 4 de septiembre de 1803, como alcalde de la Real Audiencia de La Coruña. Posteriormente, por Real Decreto de 9 de marzo de 1806, fue promovido a oidor de la misma Audiencia, ocupando la vacante dejada por Francisco Díaz Bermudo, ascendido a la regencia de Sevilla.
Superadas las convulsiones políticas de la Guerra de la Independencia, Martínez Galinsoga fue nombrado alcalde de Casa y Corte, tomando posesión el 10 de enero de 1818. Permaneció en este cargo hasta que, por Real Decreto de 20 de febrero de 1824, fue designado ministro del Consejo Real de Castilla, plaza de la que prestó juramento y tomó posesión el 23 de febrero de 1824.
Se mantuvo en el Consejo hasta su fallecimiento en Madrid el 22 de marzo de 1827.
Contrajo matrimonio con Josefa Carrasco, natural de Madrid, hija de Pedro Antonio Carrasco, del Consejo de Castilla, y de Inés Gayao.
Fue padre de Francisco de Asís Martínez de Galinsoga, nacido en Madrid el 8 de junio de 1803, graduado de bachiller en Leyes por la Universidad de Granada (1822) y abogado de los Reales Consejos desde 1831.
Su trayectoria refleja:
Francisco Martínez Galinsoga fue uno de los juristas almerienses más relevantes de finales del siglo XVIII y comienzos del XIX. Su ascenso desde las audiencias territoriales hasta el Consejo Real de Castilla lo sitúa entre los funcionarios más destacados de su tiempo, representando la continuidad institucional en un periodo marcado por guerras, reformas y cambios de régimen.