Hijo del doctor Juan Bautista Almagro y Valera, natural de Úbeda y alcalde del crimen honorario de la Chancillería de Granada, y de María Manuela de Salas y Perales, natural de Orihuela.
Ingresó como becario teólogo en el Colegio de Santiago de Granada (1788), graduándose de bachiller en Filosofía (1791) y sustituyendo la cátedra de Lógica. Posteriormente obtuvo una beca jurista en el Colegio de San Miguel de Granada (1792) y se graduó en Derecho Civil (1794). Continuó sus estudios en la Universidad de Orihuela, donde alcanzó el grado de bachiller en Cánones y se doctoró en 1797.
Se estableció en Madrid, donde fue admitido en la Real Academia de Jurisprudencia Práctica de la Concepción, desempeñando cargos como juez secular, archivero y revisor general. También ingresó en la Academia de Derecho Español y Público (1798), siendo elegido fiscal y censor. Ese mismo año fue aprobado como abogado por los Reales Consejos.
En 1808 la Junta de Gobierno de Sevilla lo nombró secretario de Gracia y Justicia, y posteriormente auditor del ejército del marqués del Socorro en Portugal. Tras la restauración de Fernando VII, se estableció en Almería y fue socio corresponsal de la Real Sociedad Económica de Granada (1816).
En 1826 fue nombrado alcalde del crimen de la Real Audiencia de Extremadura, cargo que desempeñó hasta 1831, cuando pasó a ser oidor de la Real Audiencia de Mallorca. En 1832 fue designado para el Consejo Real de Navarra, aunque finalmente ejerció como oidor en la Real Audiencia de Sevilla (1833). Allí fue también subdelegado de Fomento.
Posteriormente fue magistrado de la Audiencia territorial de Madrid, llegando a ser presidente. En 1844 fue elegido senador por las Islas Baleares. Falleció en Madrid en 1845.
Su carrera jurídica y política lo convirtió en una figura destacada del siglo XIX:
Juan Antonio Almagro y Salas representa el perfil del jurista ilustrado y servidor público que transitó entre el Antiguo Régimen y el constitucionalismo del siglo XIX. Su labor en distintas audiencias y su papel como senador reflejan la importancia de la provincia de Almería en la vida política y judicial de España.